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Löser für quadratische Gleichungen

Lösen Sie jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0. Finden Sie reelle oder komplexe Wurzeln, Diskriminante und Scheitel.

Beispiele

Beispiel: x² − 5x + 6 = 0

Zwei reelle Nullstellen (2 und 3)

a (x²-Koeffizient)
1
b (x-Koeffizient)
-5
c (Konstante)
6
Nullstelle x₁
3
Diskriminante
1
Nullstelle x₂
2
Scheitel X
2,5
Scheitel Y
-0,25

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So funktioniert's

Formel

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Scheitel=(−b2a,  f ⁣(−b2a))\text{Scheitel} = \left(\frac{-b}{2a},\; f\!\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)

Variablen, Symbole und Einheiten

aa

Koeffizient von x² (darf nicht null sein)

bb

Koeffizient von x

cc

Konstanter Term
Rechenweg erklärt

Zuerst wird die Diskriminante b²−4ac berechnet. Bei nicht-negativem Wert werden reelle Wurzeln mit der quadratischen Formel gefunden. Bei negativem Wert werden komplexe Wurzeln als a±bi ausgedrückt.

Berechnen Sie zunächst die Diskriminante Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Bei Δ>0\Delta > 0 liefert die Lösungsformel x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} zwei verschiedene reelle Wurzeln, bei Δ=0\Delta = 0 eine doppelte, und bei Δ<0\Delta < 0 zwei konjugiert komplexe Wurzeln x1,2=−b2a±∣Δ∣2∣a∣ ix_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2|a|}\,i. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei xS=−b2ax_S = -\frac{b}{2a}.

Beispiele

Beispiel: x² − 5x + 6 = 01 · -5 → 3

Zwei reelle Nullstellen (2 und 3)

a (x²-Koeffizient)
1
b (x-Koeffizient)
-5
c (Konstante)
6
Nullstelle x₁
3
Beispiel: x² + 1 = 01 · 0 → 0 + 1i

Komplexe Nullstellen (±i)

a (x²-Koeffizient)
1
b (x-Koeffizient)
0
c (Konstante)
1
Nullstelle x₁
0 + 1i
Beispiel: 2x² − 4x − 6 = 02 · -4 → 3

Nullstellen einer breiteren Parabel

a (x²-Koeffizient)
2
b (x-Koeffizient)
-4
c (Konstante)
-6
Nullstelle x₁
3

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades in der Form ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0.
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante Δ = b² − 4ac bestimmt die Art der Wurzeln: Δ > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Wurzeln, Δ = 0 eine doppelte, Δ < 0 zwei konjugiert komplexe.
Was ist die quadratische Formel?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Sie liefert die Lösungen jeder quadratischen Gleichung.
Was sind komplexe Wurzeln?
Wenn die Diskriminante negativ ist, enthalten die Wurzeln imaginäre Zahlen (i = √−1), ausgedrückt als a ± bi.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Der Scheitel ist der höchste oder tiefste Punkt. Seine x-Koordinate ist −b/(2a) und y-Koordinate ist f(−b/(2a)).

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