Rozwiązywacz równań kwadratowych

Rozwiąż dowolne równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Znajdź pierwiastki rzeczywiste lub zespolone, wyróżnik i wierzchołek.

Przykłady

Przykład: x² − 5x + 6 = 0

Dwa pierwiastki rzeczywiste (2 i 3)

a (współczynnik x²): 1
b (współczynnik x): -5
c (stała): 6

Pierwiastek x₁

Wyróżnik

Pierwiastek x₂

Wierzchołek X

2,5

Wierzchołek Y

-0,25

Osadź ten kalkulator

Skopiuj darmowy fragment iframe do artykułów, stron edukacyjnych, forów, wiki, newsletterów i dokumentacji wewnętrznej.

Jak to działa

Wzór

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\text{Wierzchołek} = \left(\frac{-b}{2a},\; f\!\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)

Zmienne, symbole i jednostki

$a$: Współczynnik x² (musi być różny od zera)
$b$: Współczynnik x
$c$: Wyraz wolny

Metoda obliczeń wyjaśniona

Najpierw obliczany jest wyróżnik b²−4ac. Jeśli nieujemny, pierwiastki rzeczywiste znajduje się wzorem kwadratowym. Jeśli ujemny, pierwiastki zespolone wyrażane są jako a±bi.

Najpierw oblicz wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ . Jeśli $\Delta > 0$ , wzór $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ daje dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli $\Delta = 0$ , jest jeden pierwiastek podwójny. Jeśli $\Delta < 0$ , pierwiastki są sprzężone zespolone $x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2|a|}\,i$ . Wierzchołek paraboli leży w $x_W = -\frac{b}{2a}$ .

Przykłady

Przykład: x² − 5x + 6 = 01 · -5 → 3

Dwa pierwiastki rzeczywiste (2 i 3)

a (współczynnik x²): 1
b (współczynnik x): -5
c (stała): 6

Pierwiastek x₁: 3

Przykład: x² + 1 = 01 · 0 → 0 + 1i

Pierwiastki zespolone (±i)

a (współczynnik x²): 1
b (współczynnik x): 0
c (stała): 1

Pierwiastek x₁: 0 + 1i

Przykład: 2x² − 4x − 6 = 02 · -4 → 3

Pierwiastki szerszej paraboli

a (współczynnik x²): 2
b (współczynnik x): -4
c (stała): -6

Pierwiastek x₁: 3

Często zadawane pytania

Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe drugiego stopnia w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.

Co to jest wyróżnik?

Wyróżnik Δ = b² − 4ac określa charakter pierwiastków: Δ > 0 daje dwa różne pierwiastki rzeczywiste, Δ = 0 jeden podwójny, Δ < 0 dwa sprzężone zespolone.

Jaki jest wzór kwadratowy?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Daje rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

Czym są pierwiastki zespolone?

Gdy wyróżnik jest ujemny, pierwiastki zawierają liczby urojone (i = √−1), wyrażone jako a ± bi.

Co to jest wierzchołek paraboli?

Wierzchołek to najwyższy lub najniższy punkt. Jego współrzędna x to −b/(2a), a y to f(−b/(2a)).

Rozwiązywacz równań kwadratowych

Przykład: x² − 5x + 6 = 0

Jak to działa

Przykłady

Często zadawane pytania

Powiązane kalkulatory

Kalkulator procentów

Kalkulator trójkątów

Wszystkie kalkulatory