CalcLibrary

Rozwiązywacz równań kwadratowych

Rozwiąż dowolne równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Znajdź pierwiastki rzeczywiste lub zespolone, wyróżnik i wierzchołek.

Równanie
Przykłady

Dwa pierwiastki rzeczywiste (2 i 3)

Wyróżnik
1
Pierwiastek x₁
3
Pierwiastek x₂
2
Wierzchołek X
2,5
Wierzchołek Y
-0,25

Dwa różne pierwiastki rzeczywiste: x₁ = 3 i x₂ = 2.

Czy to było pomocne?

Przykłady

Jak to działa

Wzór

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Wierzchołek=(−b2a,  f ⁣(−b2a))\text{Wierzchołek} = \left(\frac{-b}{2a},\; f\!\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)

Zmienne

aa

Współczynnik x² (musi być różny od zera)

bb

Współczynnik x

cc

Wyraz wolny

Najpierw obliczany jest wyróżnik b²−4ac. Jeśli nieujemny, pierwiastki rzeczywiste znajduje się wzorem kwadratowym. Jeśli ujemny, pierwiastki zespolone wyrażane są jako a±bi.

Najpierw oblicz wyróżnik Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Jeśli Δ>0\Delta > 0, wzór x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} daje dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli Δ=0\Delta = 0, jest jeden pierwiastek podwójny. Jeśli Δ<0\Delta < 0, pierwiastki są sprzężone zespolone x1,2=−b2a±∣Δ∣2∣a∣ ix_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2|a|}\,i. Wierzchołek paraboli leży w xW=−b2ax_W = -\frac{b}{2a}.

Często zadawane pytania

01Co to jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe drugiego stopnia w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.
02Co to jest wyróżnik?
Wyróżnik Δ = b² − 4ac określa charakter pierwiastków: Δ > 0 daje dwa różne pierwiastki rzeczywiste, Δ = 0 jeden podwójny, Δ < 0 dwa sprzężone zespolone.
03Jaki jest wzór kwadratowy?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Daje rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.
04Czym są pierwiastki zespolone?
Gdy wyróżnik jest ujemny, pierwiastki zawierają liczby urojone (i = √−1), wyrażone jako a ± bi.
05Co to jest wierzchołek paraboli?
Wierzchołek to najwyższy lub najniższy punkt. Jego współrzędna x to −b/(2a), a y to f(−b/(2a)).

Wszystkie kalkulatory