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排列与组合计算器

先判断顺序是否重要，再判断是否允许重复，就能对应到正确的排列或组合公式。计算器会直接给出精确结果，并显示所用公式。

示例

因为金、银、铜牌对应的位置不同，顺序会改变总数。

计数
60
计数类型
Ordered arrangement without repetition
公式
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
代入过程
\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 60

这里顺序重要：AB 和 BA 算作不同结果，而且每个元素最多只能出现 1 次。

公式计算结果仅供学习、核对和估算。只处理基础计数公式，不判断现实问题中的约束是否已完整建模。

有帮助吗？

示例

计算方式

公式

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Prep(n,r)=nrP_{\text{rep}}(n,r) = n^r

C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Crep(n,r)=(n+r−1)!r!(n−1)!C_{\text{rep}}(n,r) = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}

变量

nn

总次数或样本量

rr

选取数量或相关系数

先用两个开关做判断。如果顺序重要，就用排列；如果顺序不重要，就用组合。然后再看每个元素只能用 1 次还是可以重复使用，计算器就会自动切换到 4 种标准计数情况中的对应公式。

把这两个开关当成一个 2×2 判断表：

| 顺序重要？ | 允许重复？ | 使用公式 | | --- | --- | --- | | 是 | 否 | P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!} | | 是 | 是 | Prep(n,r)=nrP_{\text{rep}}(n,r)=n^r | | 否 | 否 | C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!} | | 否 | 是 | Crep(n,r)=(n+r−1)!r!(n−1)!C_{\text{rep}}(n,r)=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} |

计算器会先按整数计数逻辑精确运算，再显示符号公式、代入后的数值和最终结果。

常见问题

01什么时候该用排列，而不是组合？
当位置或顺序会改变结果时，就要用排列。如果 ABC 和 BAC 需要分别计数，说明顺序重要，应使用排列公式。
02这里的重复是什么意思？
重复表示同一个元素可以再次被选中。例如 PIN 码允许重复，而领奖台上的不同获奖者则不允许重复。
03为什么某些模式下会禁止 r > n？
在不允许重复时，你不能选出比现有数量更多的不同元素。如果需要选择次数超过元素总数，就必须允许重复。
04当 r = 0 会发生什么？
什么都不选只有 1 种方式，也就是空排列或空选择。所以当 r = 0 时，结果是 1。
05为什么答案会增长得这么快？
这类计数问题会把每个位置上的选择数不断相乘。即使 n 和 r 不大，最后也可能得到非常大的精确整数。

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