Löser für lineare Gleichungssysteme

Lösen Sie ein System aus zwei linearen Gleichungen (ax + by = c, dx + ey = f) mit der Cramerschen Regel. Finden Sie x und y oder erkennen Sie parallele/identische Geraden.

Beispiele

Beispiel: 2x + 3y = 8, x − y = −1

Eindeutige Lösung: x = 1, y = 2

x-Koeffizient: 2 none
y-Koeffizient: 3 none
Konstante: 8 none
x-Koeffizient: 1 none
y-Koeffizient: -1 none
Konstante: -1 none

Lösung

x = 1, y = 2

Wert von x

Wert von y

Determinante

-5 none

Lösungstyp

Eindeutige Lösung

Lösungsschritte

\det = (2)(-1) - (1)(3) = -5

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So funktioniert's

Formel

\det = a_1 b_2 - a_2 b_1

x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{\det}

y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{\det}

Variablen, Symbole und Einheiten

$a_1$: Koeffizient von x in Gleichung 1
$b_1$: Koeffizient von y in Gleichung 1
$c_1$: Konstante in Gleichung 1
$a_2$: Koeffizient von x in Gleichung 2
$b_2$: Koeffizient von y in Gleichung 2
$c_2$: Konstante in Gleichung 2

Rechenweg erklärt

Geben Sie Koeffizienten für zwei Gleichungen ein: a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Der Löser berechnet die Determinante (a1b2 - a2b1). Wenn ungleich null, wird die Cramersche Regel angewendet. Wenn null, wird geprüft ob das System widersprüchlich oder abhängig ist.

Verwenden Sie die Cramersche Regel: berechnen Sie zunächst die Determinante $\det = a_1 b_2 - a_2 b_1$ . Bei $\det \neq 0$ ergibt sich die eindeutige Lösung als $x = (c_1 b_2 - c_2 b_1)/\det$ und $y = (a_1 c_2 - a_2 c_1)/\det$ . Bei $\det = 0$ wird geprüft, ob die erweiterten 2×2-Minoren ebenfalls verschwinden — dann gibt es unendlich viele Lösungen, sonst ist das System widersprüchlich.

Beispiele

Beispiel: 2x + 3y = 8, x − y = −12 none · 3 none → x = 1, y = 2

Eindeutige Lösung: x = 1, y = 2

x-Koeffizient: 2 none
y-Koeffizient: 3 none
Konstante: 8 none
x-Koeffizient: 1 none
y-Koeffizient: -1 none
Konstante: -1 none

Lösung: x = 1, y = 2

Parallele Geraden1 none · 1 none → Keine Lösung

x + y = 1 und 2x + 2y = 5 haben keine Lösung

x-Koeffizient: 1 none
y-Koeffizient: 1 none
Konstante: 1 none
x-Koeffizient: 2 none
y-Koeffizient: 2 none
Konstante: 5 none

Lösung: Keine Lösung

Beispiel: 3x − 2y = 7, x + 4y = 93 none · -2 none → x = 3,285714, y = 1,428571

Den Schnittpunkt finden

x-Koeffizient: 3 none
y-Koeffizient: -2 none
Konstante: 7 none
x-Koeffizient: 1 none
y-Koeffizient: 4 none
Konstante: 9 none

Lösung: x = 3,285714, y = 1,428571

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein System aus zwei linearen Gleichungen besteht aus zwei Gleichungen, die jeweils eine Gerade beschreiben. Die Lösung ist der Schnittpunkt der Geraden.

Was ist die Cramersche Regel?

Die Cramersche Regel verwendet Determinanten zur Lösung linearer Systeme. Für 2 Gleichungen: x = (c1*b2 - c2*b1) / det, y = (a1*c2 - a2*c1) / det.

Was wenn die Determinante null ist?

Eine Null-Determinante bedeutet parallele Geraden (keine Lösung) oder identische Geraden (unendlich viele Lösungen). Der Rechner erkennt den Fall.

Kann man 3 oder mehr Gleichungen lösen?

Dieser Rechner ist für 2x2-Systeme konzipiert. Für größere Systeme werden Gauß-Elimination oder Matrixmethoden benötigt.

Was sind parallele vs. identische Geraden?

Parallele Geraden schneiden sich nie (keine Lösung). Identische Geraden sind dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen). Beide haben Determinante null.

Löser für lineare Gleichungssysteme

Beispiel: 2x + 3y = 8, x − y = −1

So funktioniert's

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