二项概率计算器

在重复的是/否试验里，选择“恰好”“至多”“至少”或“介于两者之间”的成功次数，就能立刻算出对应的二项概率。结果会同时给出百分比和小数，并显示 np 与标准差，方便你快速判断这个事件有多常见。

模式

根据当前输入完成计算；请结合公式和限制说明解读。

试验次数或总数

成功概率

成功次数

示例

一枚公平硬币独立抛掷 10 次，目标是恰好出现 4 次正面。

概率百分比

20.507813 %

概率小数

0.205078125

期望成功次数

标准差

1.581139

事件摘要

根据当前输入完成计算；请结合公式和限制说明解读。

本工具仅用于模型计算，默认各次试验相互独立且成功概率固定不变。若这些前提不成立，实际结果可能会不同。

有帮助吗？

示例

公式

P(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}

C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(a \le X \le b) = \sum_{i=a}^{b} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

\mu = np, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

变量

这个计算器把 $X$ 视为二项随机变量。恰好模式使用 $P(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$ 。至多、至少和区间模式会把对应成功次数范围内的精确概率相加。结果面板还会显示 $np$ 和 $\sqrt{np(1-p)}$ ，方便你把所求事件与分布的中心和离散程度对照起来。

01什么时候适合使用二项模型？

当每次试验只有成功和失败两种结果、各次试验相互独立，而且每次成功概率都保持不变时，就适合使用二项模型。

02p 可以输入百分比或小数吗？

可以。这个计算器接受 0.35、35 和 35% 这类输入，并会在摘要行重新显示标准化后的模型概率，方便你确认实际使用的是哪个值。

03恰好、至多、至少和介于两者之间分别是什么意思？

“恰好”只看一个成功次数 k；“至多”会把 0 到 k 的概率相加；“至少”会把 k 到 n 的概率相加；“介于两者之间”则会把 k 到 k2（含两端）的概率相加。

04这和统计或排列组合有什么区别？

统计通常是对已经观察到的数据做汇总，排列组合关注的是有多少种排法。这个计算器关心的是在重复试验开始前或进行中，某个成功次数出现的概率。