三次方程计算器

求解 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，查看三个根，并判断三次方程有三个实根、重根，还是一个实根和一对共轭复根。

计算方式

公式

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,\quad a \ne 0

x = t - \frac{b}{3a}

\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2

变量、符号和单位

计算方法说明

从标准形式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 开始，且 $a \ne 0$ 。求解器先除以 $a$ 进行归一化，再平移变量以消去 $x^2$ 项。之后根据判别式选择三实根、重根或一个实根加复根对的分支。

这是面向三次方程的数值求解器，不是通用符号代数系统。若根无法清楚表示为简单形式，计算器会用 $\approx$ 标记近似值，并通过代入检查。

三次方程的判别式说明什么？

判别式用于分类根。正值表示三个不同实根，零表示至少有一个重实根，负值表示一个实根和一对共轭复根。

为什么有些根显示为近似值？

许多三次方程的根不是简单整数或分数。此时计算器显示数值近似，并用代入检查结果。

a = 0 会怎样？

此时方程不再是三次方程。计算器会直接提示，而不会显示旧的三次方程结果。

重根怎样处理？

当判别式接近零时，非常接近的根会合并，避免浮点误差制造不存在的差异。