正态分布计算器

这个计算器用于在假设数据服从正态分布的前提下，估算某个数值以下、以上、两个数值之间的概率，或根据目标百分位反推出对应的临界值。适合在已知均值和标准差时，快速查看钟形曲线下不同事件的大致概率。

模式

建模问题

均值

标准差

目标值

示例

均值为 100，标准差为 15，阈值成绩为 130。

概率百分比

97.724994 %

概率小数

0.9772499371

百分位排名

97.724994 %

x 对应的标准分数

事件摘要

测量值小于或等于 130

仅用于模型估算。只有在正态分布假设合理时才适合使用；它不能证明你的数据服从正态分布，也不是假设检验。

有帮助吗？

示例

公式

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

\Phi(z) = 0.5 \cdot (1 + \operatorname{erf}(z / \sqrt{2}))

P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)

P(X \ge x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)

P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)

x = \mu + z\sigma, \quad z = \Phi^{-1}(p)

变量

先选择你要回答的问题类型，再输入均值和标准差，单位要与原始测量值保持一致。某值以下表示求左侧累计概率，某值以上表示求右尾概率，介于两值之间表示求区间内的概率，而百分位求临界值则是根据累计百分位反推出对应的原始数值。

先用 $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ 把原始数值标准化，这样就能在标准正态曲线上解读问题。
对于某值以下、某值以上和介于两值之间这几种模式，用 $\Phi(z) = 0.5 \cdot (1 + \operatorname{erf}(z / \sqrt{2}))$ 计算标准化后的数值或边界。
对于百分位求临界值，先从累计百分位 $p$ 出发，用稳定的反正态近似求得 $z = \Phi^{-1}(p)$ ，再通过 $x = \mu + z\sigma$ 映射回原始数值。
这个工具只是建模辅助，不用于检验数据是否服从正态分布，也不是假设检验工具。

01什么时候适合使用正态模型？

当你关心的测量值可以合理近似为钟形曲线时，就可以使用这个计算器。它不会检验真实数据是否服从正态分布，只会按你设定的正态模型来计算结果。

02这里的某值以下、某值以上、介于两值之间和百分位分别是什么意思？

某值以下表示阈值左侧的累计面积。某值以上表示超过阈值的右尾概率。介于两值之间表示某个区间内的概率质量。百分位求临界值则是先给出累计百分位，再返回与之对应的原始测量值。

03为什么计算器会返回标准分数？

标准分数表示某个原始数值距离均值有多少个标准差。计算器会先把你的原始数值标准化，再利用标准正态曲线求出对应的概率或临界值。

04它和统计、二项概率、科学计算有什么区别？

统计用于汇总已观测的数据。二项概率用于描述重复试验中的是或否计数。科学计算适合通用运算。这个工具更专门，只用于在正态分布假设下对连续测量值建模。