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排列與組合計算機

先判斷結果會不會因順序而改變，再決定元素能不能重複使用，就能套用正確的排列或組合公式。計算機會直接算出精確筆數，並顯示對應公式。

範例

因為冠、亞、季軍是不同名次，所以順序會影響總數。

計數
60
計數類型
Ordered arrangement without repetition
公式
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
代入過程
\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 60

這一類要看順序：AB 和 BA 是不同結果，而且每個元素最多只能用 1 次。

公式計算結果僅供學習、核對和估算。只處理基礎計數公式，不判斷現實問題中的限制是否已完整建模。

有幫助嗎？

範例

計算方式

公式

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Prep(n,r)=nrP_{\text{rep}}(n,r) = n^r

C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Crep(n,r)=(n+r−1)!r!(n−1)!C_{\text{rep}}(n,r) = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}

變數

nn

總次數或樣本數

rr

選取數量或相關係數

先從兩個是非判斷開始。若順序會影響結果，就用排列；若順序不影響結果，就用組合。接著再判斷每個元素是只能選 1 次，還是可以重複選取，計算機就會自動切換到 4 種標準計數情況中的對應公式。

把這兩個切換條件看成一個 2×2 判斷表：

| 順序重要？ | 可重複？ | 使用公式 | | --- | --- | --- | | 是 | 否 | P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!} | | 是 | 是 | Prep(n,r)=nrP_{\text{rep}}(n,r)=n^r | | 否 | 否 | C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!} | | 否 | 是 | Crep(n,r)=(n+r−1)!r!(n−1)!C_{\text{rep}}(n,r)=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} |

計算機會先用整數計數邏輯做精確運算，再依序顯示符號公式、代入數值後的式子，以及最後的結果。

常見問題

01什麼時候該用排列，而不是組合？
當位置或順序不同會造成結果不同時，就要用排列。如果 ABC 和 BAC 要分開計算，代表順序重要，應該使用排列公式。
02這裡的重複是什麼意思？
重複表示同一個元素可以再次被選到。例如 PIN 碼允許重複，但頒獎台上的不同得主就不行。
03為什麼有些模式會禁止 r > n？
在不允許重複的情況下，你不可能選出比現有數量更多的不同元素。如果需要選取次數超過元素總數，就必須允許重複。
04當 r = 0 會發生什麼事？
什麼都不選其實只有 1 種方式，也就是空排列或空選擇。所以 r = 0 時，結果會是 1。
05為什麼答案會成長得這麼快？
這類計數問題會把每個位置可用的選項一路相乘。即使 n 和 r 不大，最後也可能得到非常大的精確整數。

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