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Binomialverteilungs-Rechner

Wählen Sie genau, höchstens, mindestens oder zwischen Erfolgen in wiederholten Ja/Nein-Versuchen und berechnen Sie sofort die passende Binomialwahrscheinlichkeit.

Modelliertes Ereignis
Beispiele

Eine faire Münze mit 10 unabhängigen Würfen und genau 4 Köpfen als Ziel.

Wahrscheinlichkeit
20,507813 %
Wahrscheinlichkeit (dezimal)
0,205078125
Erwartete Erfolge (np)
5
Standardabweichung
1,581139
Modelliertes Ereignis
Genau 4 von 10; p = 0,5 (50%)

Nur ein Modell — setzt unabhängige Versuche und eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit voraus. Reale Ergebnisse können abweichen, wenn diese Annahmen nicht gelten.

War das nützlich?

Beispiele

So funktioniert's

Formel

P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}

C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

P(X≤k)=∑i=0kC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(X≥k)=∑i=knC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(a≤X≤b)=∑i=abC(n,i)pi(1−p)n−iP(a \le X \le b) = \sum_{i=a}^{b} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

μ=np,σ=np(1−p)\mu = np, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Variablen

nn

Anzahl der Versuche

pp

Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch

kk

Zielanzahl an Erfolgen

a,ba, b

Inklusive Unter- und Obergrenze eines Erfolgsbereichs

XX

Zufallsvariable für die Erfolgszahl in n Versuchen

μ,σ\mu, \sigma

Erwartete Erfolge und Standardabweichung des Modells

Dieser Rechner modelliert XX als binomialverteilte Zufallsvariable. Im exakten Modus wird P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} verwendet. Die Modi höchstens, mindestens und zwischen addieren die exakten Wahrscheinlichkeiten über die jeweilige Erfolgsmenge. Zusätzlich werden npnp und np(1−p)\sqrt{np(1-p)} ausgegeben, damit Sie Lage und Streuung des Modells einordnen können.

  • Annahmen: unabhängige Versuche und konstante Erfolgswahrscheinlichkeit.
  • Wahrscheinlichkeitseingabe: 0,35, 35 und 35% werden auf denselben Modellwert normalisiert.
  • Numerische Stabilität: Statt Fakultäten direkt auszumultiplizieren arbeitet der Rechner mit Log-Gamma-Identitäten und vermeidet so Überläufe durch naives n!.

Häufig gestellte Fragen

01Wann passt ein Binomialmodell?
Wenn jeder Versuch genau zwei mögliche Ausgänge hat, die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt.
02Kann ich p als Prozent oder Dezimalzahl eingeben?
Ja. Dieser Rechner akzeptiert 0,35, 35 oder 35%. In der Zusammenfassung wird der normalisierte Modellwert noch einmal angezeigt.
03Was bedeuten genau, höchstens, mindestens und zwischen?
Genau verwendet nur den Wert k. Höchstens summiert von 0 bis k. Mindestens summiert von k bis n. Zwischen summiert inklusiv von k bis k2.
04Worin unterscheidet sich das von Statistik oder Permutationen?
Statistik fasst beobachtete Daten zusammen. Permutationen und Kombinationen zählen Anordnungen. Dieser Rechner modelliert Wahrscheinlichkeiten für Erfolgszahlen bei Wiederholungsversuchen.

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