Konfidenzintervall-Rechner

Schaetzen Sie aus Stichprobenzusammenfassungen ein zweiseitiges Student-t-Intervall fuer einen Mittelwert oder ein Wilson-Score-Intervall fuer einen Anteil.

So funktioniert's

Formel

\bar{x} \pm t^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

\hat{p} = \frac{x}{n}

\mathrm{CI}_{\mathrm{Wilson}} = \frac{\hat{p} + \frac{z^{*2}}{2n} \pm z^*\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^{*2}}{4n^2}}}{1 + \frac{z^{*2}}{n}}

SE_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Variablen, Symbole und Einheiten

$\bar{x}$: Stichprobenmittelwert
$s$: Stichprobenstandardabweichung
$n$: Stichprobengroesse
$df$: Freiheitsgrade, im Mittelwertmodus gleich n - 1
$t^*$: Zweiseitiger Student-t-Kritischer Wert fuer das gewaehlte Konfidenzniveau
$x$: Anzahl der Erfolge im Anteilsmodus
$\hat{p}$: Stichprobenanteil, gleich x / n
$z^*$: Zweiseitiger Normal-Kritischer Wert im Wilson-Score-Intervall

Rechenweg erklärt

Waehlen Sie Mittelwert- oder Anteilsintervall, tragen Sie die vorhandene Stichprobenzusammenfassung ein, und der Rechner liefert Intervall, Fehlerspanne, Standardfehler und kritischen Wert.

Im Mittelwertmodus wird das zweiseitige Student-t-Intervall $\bar{x} \pm t^* \cdot s/\sqrt{n}$ mit $df = n - 1$ verwendet. Dadurch ist der kritische Wert bei kleinen Stichproben groesser als bei einer einfachen Normalannahme. Im Anteilsmodus wird bewusst das Wilson-Score-Intervall statt der naiven Wald-Form $\hat{p} \pm z^* \cdot SE$ verwendet, weil Wilson bei kleineren Stichproben und bei Anteilen nahe 0 oder 1 stabiler ist.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zum Statistik-Rechner?

Der Statistik-Rechner ist rein deskriptiv: Er fasst die vorhandene Stichprobe mit Kennzahlen wie Mittelwert, Median und Standardabweichung zusammen. Dieser Rechner nimmt diese Stichprobenzusammenfassung und macht daraus ein Intervall fuer einen Populationsmittelwert oder Populationsanteil.

Was ist der Unterschied zu Normalverteilung und Binomialwahrscheinlichkeit?

Die Normalverteilung beantwortet Wahrscheinlichkeitsfragen unter einem angenommenen Glockenkurvenmodell, und die Binomialwahrscheinlichkeit beantwortet Ereignisanzahlen bei wiederholten Ja/Nein-Versuchen. Dieser Rechner nutzt Stichprobenbelege, um einen plausiblen Bereich fuer einen unbekannten Mittelwert oder Anteil zu schaetzen.

Warum Wilson fuer Anteile, und bedeutet 95% Konfidenz 95% Sicherheit fuer genau dieses Intervall?

Wilson ist stabiler als das naive Wald-Intervall, wenn die Stichprobe nicht sehr gross ist oder der Anteil nahe 0 oder 1 liegt. 95% Konfidenz bedeutet nicht 95% Wahrscheinlichkeit fuer dieses feste Intervall, sondern dass das Verfahren unter den Modellannahmen bei wiederholten Stichproben ungefaehr in 95% der Faelle den wahren Wert einschliesst.

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