Was sagt die Diskriminante einer kubischen Gleichung aus?

Die Diskriminante klassifiziert die Wurzeln. Positiv bedeutet drei verschiedene reelle Wurzeln, null bedeutet mindestens eine Mehrfachwurzel, negativ bedeutet eine reelle Wurzel plus ein komplex konjugiertes Paar.

Warum sind manche Wurzeln nur näherungsweise angegeben?

Viele kubische Gleichungen haben keine einfache ganzzahlige oder gebrochene Lösung. Dann zeigt der Rechner eine numerische Näherung und prüft die Werte per Einsetzen, statt eine scheinbar exakte Form zu versprechen.

Was passiert bei a = 0?

Dann ist die Gleichung nicht mehr kubisch. Dieser Rechner stoppt in diesem Fall direkt und lässt keine alte kubische Lösung stehen.

Wie werden Mehrfachwurzeln behandelt?

Wenn die Diskriminante praktisch null ist, werden fast gleiche Wurzeln zusammengefasst, damit Rundungsrauschen keine künstlich verschiedenen Lösungen erzeugt.

Rechner für kubische Gleichungen

Lösen Sie ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, sehen Sie alle drei Wurzeln und erkennen Sie sofort, ob die Gleichung drei reelle Wurzeln, eine Mehrfachwurzel oder ein komplex konjugiertes Paar hat.

So funktioniert's

Formel

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,\quad a \ne 0

x = t - \frac{b}{3a}

\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2

Ausgangspunkt ist die kubische Gleichung $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ mit $a \ne 0$ . Der Rechner normiert zuerst auf die führende Eins und verschiebt dann die Variable so, dass der $x^2$ -Term verschwindet. Danach entscheidet die Diskriminante, welcher Fall vorliegt: drei reelle Wurzeln, eine Mehrfachwurzel oder ein komplex konjugiertes Paar.

Das ist bewusst ein fokussierter numerischer Rechner und kein allgemeines CAS. Wenn sich eine Wurzel nicht sinnvoll einfach darstellen lässt, wird sie mit $\approx$ markiert und vor der Ausgabe durch Einsetzen geprüft.

Rechner für kubische Gleichungen

So funktioniert's

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