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Rechner für kubische Gleichungen

Lösen Sie ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, sehen Sie alle drei Wurzeln und erkennen Sie sofort, ob die Gleichung drei reelle Wurzeln, eine Mehrfachwurzel oder ein komplex konjugiertes Paar hat.

equation
Beispiele

Drei verschiedene reelle Wurzeln: 1, 2 und 3.

Wurzeltyp
Drei verschiedene reelle Wurzeln
Wurzel x1
1
Wurzel x2
2
Wurzel x3
3
Diskriminante Δ
4

Es wurden drei reelle Wurzeln gefunden. Der Rechner nutzt den passenden Diskriminanten-Zweig und prüft die angezeigten Werte per Einsetzen.

War das nützlich?

Beispiele

So funktioniert's

Formel

ax3+bx2+cx+d=0,a≠0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,\quad a \ne 0

x=t−b3ax = t - \frac{b}{3a}

Δ=18abcd−4b3d+b2c2−4ac3−27a2d2\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2

Variablen

aa

Koeffizient von x^3 (darf nicht 0 sein)

bb

Koeffizient von x^2

cc

Koeffizient von x

dd

Konstanter Term

xx

Gesuchte Wurzel

Ausgangspunkt ist die kubische Gleichung ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 mit a≠0a \ne 0. Der Rechner normiert zuerst auf die führende Eins und verschiebt dann die Variable so, dass der x2x^2-Term verschwindet. Danach entscheidet die Diskriminante, welcher Fall vorliegt: drei reelle Wurzeln, eine Mehrfachwurzel oder ein komplex konjugiertes Paar.

Das ist bewusst ein fokussierter numerischer Rechner und kein allgemeines CAS. Wenn sich eine Wurzel nicht sinnvoll einfach darstellen lässt, wird sie mit ≈\approx markiert und vor der Ausgabe durch Einsetzen geprüft.

Häufig gestellte Fragen

01Was sagt die Diskriminante einer kubischen Gleichung aus?
Die Diskriminante klassifiziert die Wurzeln. Positiv bedeutet drei verschiedene reelle Wurzeln, null bedeutet mindestens eine Mehrfachwurzel, negativ bedeutet eine reelle Wurzel plus ein komplex konjugiertes Paar.
02Warum sind manche Wurzeln nur näherungsweise angegeben?
Viele kubische Gleichungen haben keine einfache ganzzahlige oder gebrochene Lösung. Dann zeigt der Rechner eine numerische Näherung und prüft die Werte per Einsetzen, statt eine scheinbar exakte Form zu versprechen.
03Was passiert bei a = 0?
Dann ist die Gleichung nicht mehr kubisch. Dieser Rechner stoppt in diesem Fall direkt und lässt keine alte kubische Lösung stehen.
04Wie werden Mehrfachwurzeln behandelt?
Wenn die Diskriminante praktisch null ist, werden fast gleiche Wurzeln zusammengefasst, damit Rundungsrauschen keine künstlich verschiedenen Lösungen erzeugt.

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