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Polynomdivision Rechner

Teilen Sie ein einvariabliges Polynom durch ein anderes und erhalten Sie sofort den exakten Quotienten, den exakten Rest und die überprüfbare Identität.

Erkannter Dividend
Erkannter Divisor
Beispiele

x^3 - 1 geteilt durch x - 1 ergibt den Quotienten x^2 + x + 1 und Rest 0.

Quotient
x^{2} + x + 1
Rest
0
Geprüfte Identität
\left(x^{3} - 1\right) = \left(x - 1\right) \cdot \left(x^{2} + x + 1\right) + \left(0\right)
Kompakter Rechenweg
x^{3} \div x = x^{2}, x^{2} \cdot \left(x - 1\right) = x^{3} - x^{2}, \left(x^{3} - 1\right) - \left(x^{3} - x^{2}\right) = x^{2} - 1, x^{2} \div x = x, x \cdot \left(x - 1\right) = x^{2} - x, \left(x^{2} - 1\right) - \left(x^{2} - x\right) = x - 1, x \div x = 1, 1 \cdot \left(x - 1\right) = x - 1, \left(x - 1\right) - \left(x - 1\right) = 0, Q = x^{2} + x + 1,\; R = 0

Der Rest ist genau 0, daher ist x - 1 ein Faktor von x^3 - 1.

War das nützlich?

Beispiele

So funktioniert's

Formel

P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

deg⁡(R)<deg⁡(D)\deg(R) < \deg(D)

Variablen

P(x)P(x)

Dividend-Polynom

D(x)D(x)

Divisor-Polynom

Q(x)Q(x)

Quotientenpolynom

R(x)R(x)

Restpolynom

Der Rechner liest beide Eingaben als exakte Polynome in einer Variablen, teilt die führenden Terme, zieht das passende Teilprodukt ab und wiederholt das, bis der Restgrad kleiner als der Divisorgrad ist. Koeffizienten bleiben symbolisch, sodass z. B. 1/2x^2 - 1/2x + 1 exakt stehen bleibt und nicht als Dezimalzahl endet.

In jedem Schritt wird der führende Term des aktuellen Restes durch den führenden Term des Divisors geteilt. Dieser Quotiententerm wird mit dem ganzen Divisor multipliziert und dann vom aktuellen Rest subtrahiert. Erst wenn der verbleibende Grad kleiner als der Divisorgrad ist, stoppt das Verfahren — genau wie bei der Polynomdivision im Unterricht.

Häufig gestellte Fragen

01Was gibt der Rechner aus?
Er gibt das exakte Quotientenpolynom, das exakte Restpolynom und die Identität Dividend = Divisor × Quotient + Rest aus.
02Wann ist der Divisor ein Faktor?
Nur wenn der Rest genau 0 ist. Dann geht der Dividend ohne verbleibenden Term durch den Divisor.
03Welche Schreibweise wird unterstützt?
Geben Sie ein Polynom in einer Variablen mit üblicher Algebra-Schreibweise ein, zum Beispiel x^4 - 3x + 2, x^2/2 - 1 oder (x + 1)^2 - x. Fehlende Terme werden automatisch normalisiert.
04Was wird nicht unterstützt?
Dieses Werkzeug ist kein vollständiges CAS. Funktionen wie sin(x), Terme mit negativen Exponenten oder Brüche mit Variablen im Nenner wie 1/x werden nicht akzeptiert.
05Warum steht die Identität unter dem Ergebnis?
Damit lässt sich das Ergebnis schnell prüfen. Wenn Sie Divisor × Quotient ausmultiplizieren und den Rest addieren, erhalten Sie wieder den ursprünglichen Dividend.

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