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बहुपद भाग गणक

एक चर वाले बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देकर सटीक भागफल, सटीक शेषफल और सत्यापित समता एक ही जगह पाएँ।

पढ़ा गया भाज्य
पढ़ा गया भाजक
उदाहरण

x^3 - 1 को x - 1 से भाग देने पर भागफल x^2 + x + 1 और शेषफल 0 आता है, इसलिए x - 1 गुणनखंड है।

भागफल
x^{2} + x + 1
शेषफल
0
सत्यापित समता
\left(x^{3} - 1\right) = \left(x - 1\right) \cdot \left(x^{2} + x + 1\right) + \left(0\right)
संक्षिप्त चरणबद्ध भाग-विवरण
x^{3} \div x = x^{2}, x^{2} \cdot \left(x - 1\right) = x^{3} - x^{2}, \left(x^{3} - 1\right) - \left(x^{3} - x^{2}\right) = x^{2} - 1, x^{2} \div x = x, x \cdot \left(x - 1\right) = x^{2} - x, \left(x^{2} - 1\right) - \left(x^{2} - x\right) = x - 1, x \div x = 1, 1 \cdot \left(x - 1\right) = x - 1, \left(x - 1\right) - \left(x - 1\right) = 0, Q = x^{2} + x + 1,\; R = 0

शेषफल ठीक 0 है, इसलिए x - 1, x^3 - 1 का गुणनखंड है।

क्या यह उपयोगी था?

उदाहरण

यह कैसे काम करता है

सूत्र

P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

deg⁡(R)<deg⁡(D)\deg(R) < \deg(D)

चर

P(x)P(x)

भाज्य बहुपद

D(x)D(x)

भाजक बहुपद

Q(x)Q(x)

भागफल बहुपद

R(x)R(x)

शेषफल बहुपद

यह गणक दोनों व्यंजकों को एक-चर के सटीक बहुपद के रूप में पढ़ता है, सबसे बड़े घात वाले पदों का भाग करता है, उसके अनुरूप आंशिक गुणनफल घटाता है, और यह क्रम तब तक दोहराता है जब तक शेषफल की घात भाजक की घात से छोटी न हो जाए। गुणांक प्रतीकात्मक रूप में बने रहते हैं, इसलिए 1/2x^2 - 1/2x + 1 जैसा उत्तर दशमलव में बदले बिना सटीक रहता है।

हर चरण में वर्तमान शेषफल के सबसे बड़े घात वाले पद को भाजक के सबसे बड़े घात वाले पद से भाग दिया जाता है। उससे मिला भागफल-पद पूरे भाजक से गुणा किया जाता है, फिर वही आंशिक गुणनफल वर्तमान शेषफल से घटाया जाता है। यह क्रम तभी रुकता है जब बचा हुआ बहुपद भाजक से कम घात का रह जाए। यही कक्षा में सिखाई जाने वाली बहुपद-भाग की मानक विधि है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

01यह गणक क्या देता है?
यह सटीक भागफल बहुपद, सटीक शेषफल बहुपद और समता P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x) की जाँच एक साथ दिखाता है।
02भाजक कब गुणनखंड बनता है?
सिर्फ तब, जब शेषफल बिल्कुल 0 हो। तभी भाज्य बिना कोई पद छोड़े भाजक से पूर्णतः विभाजित होता है।
03कौन-सी लिखावट मान्य है?
एक चर वाला बहुपद सामान्य बीजगणितीय रूप में लिखें, जैसे x^4 - 3x + 2, x^2/2 - 1, या (x + 1)^2 - x। जिन घातों के पद बीच में छूट जाते हैं, उन्हें यह अपने-आप व्यवस्थित कर लेता है।
04क्या मान्य नहीं है?
यह पूर्ण प्रतीक-बीजगणित प्रणाली नहीं है। यह sin(x) जैसे फलन, ऋणात्मक घात वाले पद, या 1/x जैसे चर-हर वाले व्यंजक स्वीकार नहीं करता।
05उत्तर के नीचे समता क्यों दिखाई जाती है?
यह तुरंत जाँचने का तरीका है। यदि आप D(x) ⋅ Q(x) का विस्तार करके उसमें R(x) जोड़ें, तो मूल भाज्य P(x) वापस मिलना चाहिए।

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