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बायनोमियल प्रायिकता कैलकुलेटर

बार-बार होने वाले हां/ना ट्रायल्स में बिल्कुल, अधिकतम, कम-से-कम, या एक दायरे के भीतर सफलता की प्रायिकता तुरंत निकालें।

मॉडल की गई घटना
उदाहरण

एक निष्पक्ष सिक्का, 10 स्वतंत्र उछाल, और लक्ष्य बिल्कुल 4 हेड।

प्रायिकता
20.507813 %
प्रायिकता (दशमलव)
0.205078125
अपेक्षित सफलताएं (np)
5
मानक विचलन
1.581139
मॉडल की गई घटना
बिल्कुल 4 of 10; p = 0.5 (50%)

यह केवल एक मॉडल है — इसमें ट्रायल्स को स्वतंत्र और सफलता की प्रायिकता को स्थिर माना जाता है। अगर ये मान्यताएं सही न हों तो वास्तविक परिणाम अलग हो सकते हैं।

क्या यह उपयोगी था?

उदाहरण

यह कैसे काम करता है

सूत्र

P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}

C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

P(X≤k)=∑i=0kC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(X≥k)=∑i=knC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(a≤X≤b)=∑i=abC(n,i)pi(1−p)n−iP(a \le X \le b) = \sum_{i=a}^{b} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

μ=np,σ=np(1−p)\mu = np, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

चर

nn

ट्रायल्स की संख्या

pp

हर ट्रायल पर सफलता की प्रायिकता

kk

लक्षित सफलता संख्या

a,ba, b

सफलता-दायरे की समावेशी निचली और ऊपरी सीमाएं

XX

n ट्रायल्स में सफलताओं की गिनती करने वाला random variable

μ,σ\mu, \sigma

मॉडल की अपेक्षित सफलताएं और मानक विचलन

यह कैलकुलेटर XX को binomial random variable मानता है। Exact mode में P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} उपयोग होता है। At most, at least, और between modes उसी exact probability को उचित सफलता-सीमा पर जोड़ते हैं। परिणाम पैनल में npnp और np(1−p)\sqrt{np(1-p)} भी दिखता है, ताकि आप मॉडल के केंद्र और फैलाव के संदर्भ में घटना को समझ सकें।

  • मान्यताएं: ट्रायल्स स्वतंत्र हैं और सफलता की प्रायिकता स्थिर है।
  • p इनपुट: 0.35, 35, और 35% तीनों एक ही मॉडल मान पर सामान्यीकृत होते हैं।
  • संख्यात्मक स्थिरता: कैलकुलेटर factorial को सीधे फैलाने के बजाय log-gamma identities का उपयोग करता है, इसलिए naive n! overflow से बचता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

01बायनोमियल मॉडल कब उपयोग करना चाहिए?
जब हर ट्रायल के केवल दो परिणाम हों, ट्रायल्स स्वतंत्र हों, और सफलता की प्रायिकता हर बार समान रहे।
02क्या p को प्रतिशत या दशमलव में दर्ज कर सकते हैं?
हाँ। यह कैलकुलेटर 0.35, 35, और 35% तीनों स्वीकार करता है। सारांश पंक्ति में सामान्यीकृत मान दोबारा दिखता है।
03exactly, at most, at least, और between का क्या मतलब है?
Exactly एक ही k का उपयोग करता है। At most, 0 से k तक जोड़ता है। At least, k से n तक जोड़ता है। Between, k से k2 तक दोनों सिरों सहित जोड़ता है।
04यह statistics या permutations से कैसे अलग है?
Statistics देखे गए डेटा का सार देती है। Permutations और combinations व्यवस्थाओं की गिनती करते हैं। यह कैलकुलेटर दोहराए गए ट्रायल्स में सफलता-गणना की प्रायिकता मॉडल करता है।

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