CalcLibrary

Rozwiązywacz układów równań liniowych

Rozwiąż układ dwóch równań liniowych (ax + by = c, dx + ey = f) za pomocą reguły Cramera. Znajdź x i y lub wykryj proste równoległe/pokrywające się.

Równanie 1
Równanie 2
Przykłady

Jednoznaczne rozwiązanie: x = 1, y = 2

Rozwiązanie
x = 1, y = 2
Wartość x
1
Wartość y
2
Wyznacznik
-5 none
Typ rozwiązania
Jednoznaczne rozwiązanie
Kroki rozwiązania
2x + 3y = 8, 1x - 1y = -1, \det = (2)(-1) - (1)(3) = -5, x = \frac{(8)(-1) - (-1)(3)}{-5} = 1, y = \frac{(2)(-1) - (1)(8)}{-5} = 2

Dla tego układu 2x2 wartości x = 1 i y = 2 spełniają oba równania jednocześnie.

Czy to było pomocne?

Przykłady

Jak to działa

Wzór

det⁡=a1b2−a2b1\det = a_1 b_2 - a_2 b_1

x=c1b2−c2b1det⁡x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{\det}

y=a1c2−a2c1det⁡y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{\det}

Zmienne

a1a_1

Współczynnik x w równaniu 1

b1b_1

Współczynnik y w równaniu 1

c1c_1

Stała w równaniu 1

a2a_2

Współczynnik x w równaniu 2

b2b_2

Współczynnik y w równaniu 2

c2c_2

Stała w równaniu 2

Wprowadź współczynniki dwóch równań: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Solver oblicza wyznacznik (a1b2 - a2b1). Jeśli niezerowy, stosuje regułę Cramera. Jeśli zerowy, sprawdza czy układ jest sprzeczny czy zależny.

Zastosuj regułę Cramera: najpierw oblicz wyznacznik det⁡=a1b2−a2b1\det = a_1 b_2 - a_2 b_1. Jeśli det⁡≠0\det \neq 0, jednoznaczne rozwiązanie to x=(c1b2−c2b1)/det⁡x = (c_1 b_2 - c_2 b_1)/\det oraz y=(a1c2−a2c1)/det⁡y = (a_1 c_2 - a_2 c_1)/\det. Jeśli det⁡=0\det = 0, sprawdza się, czy zerują się także rozszerzone minory 2×2 — wtedy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, w przeciwnym razie układ jest sprzeczny.

Często zadawane pytania

01Czym jest układ równań liniowych?
Układ dwóch równań liniowych to para równań opisujących proste. Rozwiązaniem jest punkt przecięcia prostych.
02Czym jest reguła Cramera?
Reguła Cramera używa wyznaczników do rozwiązywania układów liniowych. Dla 2 równań: x = (c1*b2 - c2*b1) / det, y = (a1*c2 - a2*c1) / det.
03Co jeśli wyznacznik jest równy zero?
Zerowy wyznacznik oznacza proste równoległe (brak rozwiązania) lub pokrywające się (nieskończenie wiele rozwiązań). Kalkulator rozpoznaje który przypadek zachodzi.
04Czy można rozwiązać 3 lub więcej równań?
Ten kalkulator jest przeznaczony dla układów 2x2. Dla większych układów potrzebna jest eliminacja Gaussa lub metody macierzowe.
05Czym różnią się proste równoległe od pokrywających się?
Proste równoległe nigdy się nie przecinają (brak rozwiązania). Pokrywające się to ta sama prosta (nieskończenie wiele rozwiązań). Oba przypadki mają zerowy wyznacznik.

Wszystkie kalkulatory