Rozwiązywacz układów równań liniowych

Rozwiąż układ dwóch równań liniowych (ax + by = c, dx + ey = f) za pomocą reguły Cramera. Znajdź x i y lub wykryj proste równoległe/pokrywające się.

Przykłady

Przykład: 2x + 3y = 8, x − y = −1

Jednoznaczne rozwiązanie: x = 1, y = 2

Współczynnik x: 2 none
Współczynnik y: 3 none
Stała: 8 none
Współczynnik x: 1 none
Współczynnik y: -1 none
Stała: -1 none

Rozwiązanie

x = 1, y = 2

Wartość x

Wartość y

Wyznacznik

-5 none

Typ rozwiązania

Jednoznaczne rozwiązanie

Kroki rozwiązania

\det = (2)(-1) - (1)(3) = -5

Osadź ten kalkulator

Skopiuj darmowy fragment iframe do artykułów, stron edukacyjnych, forów, wiki, newsletterów i dokumentacji wewnętrznej.

Jak to działa

Wzór

\det = a_1 b_2 - a_2 b_1

x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{\det}

y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{\det}

Zmienne, symbole i jednostki

$a_1$: Współczynnik x w równaniu 1
$b_1$: Współczynnik y w równaniu 1
$c_1$: Stała w równaniu 1
$a_2$: Współczynnik x w równaniu 2
$b_2$: Współczynnik y w równaniu 2
$c_2$: Stała w równaniu 2

Metoda obliczeń wyjaśniona

Wprowadź współczynniki dwóch równań: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Solver oblicza wyznacznik (a1b2 - a2b1). Jeśli niezerowy, stosuje regułę Cramera. Jeśli zerowy, sprawdza czy układ jest sprzeczny czy zależny.

Zastosuj regułę Cramera: najpierw oblicz wyznacznik $\det = a_1 b_2 - a_2 b_1$ . Jeśli $\det \neq 0$ , jednoznaczne rozwiązanie to $x = (c_1 b_2 - c_2 b_1)/\det$ oraz $y = (a_1 c_2 - a_2 c_1)/\det$ . Jeśli $\det = 0$ , sprawdza się, czy zerują się także rozszerzone minory 2×2 — wtedy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, w przeciwnym razie układ jest sprzeczny.

Przykłady

Przykład: 2x + 3y = 8, x − y = −12 none · 3 none → x = 1, y = 2

Jednoznaczne rozwiązanie: x = 1, y = 2

Współczynnik x: 2 none
Współczynnik y: 3 none
Stała: 8 none
Współczynnik x: 1 none
Współczynnik y: -1 none
Stała: -1 none

Rozwiązanie: x = 1, y = 2

Proste równoległe1 none · 1 none → Brak rozwiązania

x + y = 1 i 2x + 2y = 5 nie mają rozwiązania

Współczynnik x: 1 none
Współczynnik y: 1 none
Stała: 1 none
Współczynnik x: 2 none
Współczynnik y: 2 none
Stała: 5 none

Rozwiązanie: Brak rozwiązania

Przykład: 3x − 2y = 7, x + 4y = 93 none · -2 none → x = 3,285714, y = 1,428571

Znalezienie punktu przecięcia

Współczynnik x: 3 none
Współczynnik y: -2 none
Stała: 7 none
Współczynnik x: 1 none
Współczynnik y: 4 none
Stała: 9 none

Rozwiązanie: x = 3,285714, y = 1,428571

Często zadawane pytania

Czym jest układ równań liniowych?

Układ dwóch równań liniowych to para równań opisujących proste. Rozwiązaniem jest punkt przecięcia prostych.

Czym jest reguła Cramera?

Reguła Cramera używa wyznaczników do rozwiązywania układów liniowych. Dla 2 równań: x = (c1*b2 - c2*b1) / det, y = (a1*c2 - a2*c1) / det.

Co jeśli wyznacznik jest równy zero?

Zerowy wyznacznik oznacza proste równoległe (brak rozwiązania) lub pokrywające się (nieskończenie wiele rozwiązań). Kalkulator rozpoznaje który przypadek zachodzi.

Czy można rozwiązać 3 lub więcej równań?

Ten kalkulator jest przeznaczony dla układów 2x2. Dla większych układów potrzebna jest eliminacja Gaussa lub metody macierzowe.

Czym różnią się proste równoległe od pokrywających się?

Proste równoległe nigdy się nie przecinają (brak rozwiązania). Pokrywające się to ta sama prosta (nieskończenie wiele rozwiązań). Oba przypadki mają zerowy wyznacznik.

Rozwiązywacz układów równań liniowych

Przykład: 2x + 3y = 8, x − y = −1

Jak to działa

Przykłady

Często zadawane pytania

Powiązane kalkulatory

Rozwiązywacz równań kwadratowych

Kalkulator naukowy

Kalkulator procentów

Wszystkie kalkulatory