CalcLibrary

Калькулятор биномиальной вероятности

Посчитайте, какова вероятность получить ровно k успехов, не больше k, не меньше k или от k до k2 успехов в серии независимых испытаний.

Событие
Примеры

Честная монета, 10 независимых бросков и событие «выпало ровно 4 орла».

Вероятность
20,507813 %
Вероятность в долях единицы
0,205078125
Ожидаемое число успехов (np)
5
Стандартное отклонение
1,581139
Событие
Ровно 4 из 10; p = 0,5 (50%)

Это модельный расчет: он предполагает независимые испытания и постоянную вероятность успеха. Если эти условия не выполняются, реальные результаты могут отличаться.

Это было полезно?

Примеры

Как это работает

Формула

P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}

C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

P(X≤k)=∑i=0kC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(X≥k)=∑i=knC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(a≤X≤b)=∑i=abC(n,i)pi(1−p)n−iP(a \le X \le b) = \sum_{i=a}^{b} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

μ=np,σ=np(1−p)\mu = np, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Переменные

nn

Число испытаний

pp

Вероятность успеха в каждом испытании

kk

Заданное число успехов

a,ba, b

Нижняя и верхняя границы диапазона, обе включительно

XX

Случайная величина: число успехов в n испытаниях

μ,σ\mu, \sigma

Математическое ожидание и стандартное отклонение модели

Калькулятор считает, что случайная величина XX имеет биномиальное распределение. Для события «ровно k» используется формула P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}. Режимы «не больше», «не меньше» и «от k до k2» складывают точные вероятности по нужным значениям числа успехов. В результате также показаны npnp и np(1−p)\sqrt{np(1-p)}, чтобы было проще оценить, насколько выбранное событие далеко от центра распределения.

  • Допущения: испытания независимы, вероятность успеха постоянна.
  • Ввод p: 0,35, 35 и 35% приводятся к одному и тому же значению вероятности.
  • Численная устойчивость: биномиальные слагаемые считаются через логарифм гамма-функции, без прямого раскрытия факториалов, поэтому не возникает переполнения при наивном вычислении n!.

Частые вопросы

01Когда применима биномиальная модель?
Когда каждое испытание дает только два исхода, испытания независимы, а вероятность успеха не меняется от испытания к испытанию.
02Можно вводить p процентом или десятичной дробью?
Да. Калькулятор принимает 0,35, 35 и 35%. В итоговой строке он показывает нормализованное значение, чтобы было видно, какая вероятность использована в расчете.
03Что значат «ровно», «не больше», «не меньше» и «от ... до ...»?
«Ровно» берет одно значение k. «Не больше» суммирует вероятности от 0 до k. «Не меньше» суммирует от k до n. Диапазон суммирует все значения от k до k2 включительно.
04Чем это отличается от статистики или перестановок?
Статистика описывает уже полученные данные, а перестановки и сочетания считают варианты выбора или порядка. Здесь считается вероятность будущего числа успехов в повторяющихся испытаниях.

Все калькуляторы