CalcLibrary

置信区间计算器

根据你已有的样本摘要数据，估计样本均值的双侧 Student's t 置信区间，或样本比例的 Wilson score 区间。即使没有原始数据，只要有样本量、均值、标准差或成功次数，也能快速得到合理的区间估计。

根据当前输入完成计算；请结合公式和限制说明解读。
x
n
示例

250 名受访者中有 137 人支持这项提案。用比例模式先估计支持率的合理范围，再整理民调结果。

Confidence interval
[48.6%, 60.85%]
Lower bound
48.6%
Upper bound
60.85%
Margin of error
6.12%
Standard error
3.15%
Critical value (z*)
1.96
Sample proportion
54.8%

Wilson 区间在置信水平提高或 n 降低时也会变宽。相同 n 下，比例接近 50% 时通常比接近 0% 或 100% 时更不精确。这里在 95% 置信水平下，250 次样本中有 137 次成功，半宽为 6.123。

它给出的是在所选模型下的合理范围，不是真值的精确结果，也不是保证。样本质量、独立性以及所选置信水平，都会影响这个区间是否有说服力。

有帮助吗？

示例

计算方式

公式

xˉ±t∗⋅sn,df=n−1\bar{x} \pm t^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

CIWilson=p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\mathrm{CI}_{\mathrm{Wilson}} = \frac{\hat{p} + \frac{z^{*2}}{2n} \pm z^*\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^{*2}}{4n^2}}}{1 + \frac{z^{*2}}{n}}

SExˉ=sn,SEp^=p^(1−p^)nSE_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

变量

xˉ\bar{x}

\bar{x} 表示这道数学题中的一个输入值、中间量或结果量。

ss

s 表示这道数学题中的一个输入值、中间量或结果量。

nn

总次数或样本量

dfdf

df 表示这道数学题中的一个输入值、中间量或结果量。

t∗t^*

t^* 表示这道数学题中的一个输入值、中间量或结果量。

xx

目标值或自变量

p^\hat{p}

\hat{p} 表示这道数学题中的一个输入值、中间量或结果量。

z∗z^*

标准化后的 z 值

选择均值区间或比例区间，输入你已有的样本摘要，计算器会返回区间、误差范围、标准误和临界值。

均值模式使用双侧 Student's t 区间 xˉ±t∗⋅s/n\bar{x} \pm t^* \cdot s/\sqrt{n}，其中 df=n−1df = n - 1，因此样本越小，临界值通常比正态近似更宽。比例模式有意采用 Wilson score 区间，而不是朴素的 Wald 形式 p^±z∗⋅SE\hat{p} \pm z^* \cdot SE，因为当 nn 不大，或样本比例接近 0 或 1 时，Wilson 往往更稳健。

常见问题

01这和统计计算器有什么区别？
统计计算器偏重描述性分析，它会把你已有的样本整理成均值、中位数、标准差等指标。这个计算器则是在这些样本摘要的基础上，进一步估计总体均值或总体比例的区间范围。
02这和正态分布或二项分布概率有什么区别？
正态分布工具是在假设钟形分布的前提下回答概率问题，二项分布概率则是回答重复的是/否试验里某个事件次数出现的可能性。这个计算器是利用样本证据，来估计未知均值或比例的合理范围。
03为什么比例要用 Wilson？95% 置信度是不是表示这个固定区间有 95% 的概率包含真值？
当样本量不大，或比例接近 0 或 1 时，Wilson 比朴素的 Wald 区间更稳定。95% 置信度并不是说这个已经算出的固定区间有 95% 的概率包含真值，而是指在模型假设成立时，如果重复抽样并反复用同一方法构造区间，大约有 95% 的区间会覆盖真值。

所有计算器