线性回归计算器

粘贴成对数据后，工具会自动拟合一条最小二乘直线。你可以查看回归方程、r 和 R²。还可以在不手动列公式的情况下，根据指定的 x 估算 y。

示例

学校：学习时间与分数

根据学习时长和小测分数拟合一条直线，再估算学习 6 小时时的分数。

回归直线

y = 55.9 + 6.1x

斜率 b

6.1

截距 a

55.9

学校：学习时间与分数根据学习时长和小测分数拟合一条直线，再估算学习 6 小时时的分数。y = 55.9 + 6.1xy = 55.9 + 6.1x

业务：广告支出与线索量用每周支出和线索数量的成对数据，估算下一档支出水平下的线索数量。y = -0.4 + 2.2xy = -0.4 + 2.2x

科学：浓度与响应概括实验数据中的线性趋势，并查看拟合是紧密还是偏弱。y = 0.5 + 1.28xy = 0.5 + 1.28x

公式

b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}

a = \bar{y} - b\bar{x}

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}

R^2 = r^2

变量

线性回归会根据你输入的成对数据拟合出一条直线。斜率表示当 x 每增加 1 时，y 通常会变化多少；截距表示当 x = 0 时，这条直线对应的值。

适合在你已经有成对观测值时使用，比如学习时间与测验成绩，或浓度与响应。输入点的线性关系越紧，r 的绝对值通常越大；而 R² 表示这条直线能够解释 y 变化的多少。即使拟合较弱，这条线仍可能有参考价值；而即使拟合很强，也不代表存在因果关系。

01这里的斜率是什么意思？

斜率 **b** 表示 **x** 每增加 1 单位时，直线上的 **y** 会变化多少。斜率为正，说明拟合直线上升；斜率为负，说明它下降。

02R² 告诉我什么？

R² 表示拟合直线解释了 **y** 变化中的多大比例。接近 1 说明直线与输入点贴合得较好；接近 0 说明它对变化的解释很少。

03高相关性能证明因果关系吗？

不能。回归只能描述你输入数据中的关联，无法说明一个变量是否会导致另一个变量变化。

04对远超出数据范围的预测结果可以相信吗？

要谨慎。预测的 y 只是你输入的 x 在这条直线上的对应值。若预测明显超出已观察到的 x 范围，结果通常就没那么可靠。