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二項機率計算機

這個工具適合用在一連串只有成功或失敗兩種結果的試驗。你可以選擇「恰好」「至多」「至少」或某個成功次數區間，立即看到對應的二項機率、百分比表示，以及 np 和標準差。

已根據目前輸入完成計算；請搭配公式和限制說明解讀。
範例

一枚公平硬幣獨立擲 10 次，目標是恰好出現 4 次正面。

機率百分比
20.507813 %
機率小數
0.205078125
期望成功次數
5
標準差
1.581139
事件摘要
已根據目前輸入完成計算；請搭配公式和限制說明解讀。

本工具僅供模型計算，假設各次試驗互相獨立且成功機率固定不變。若這些條件不成立，實際結果可能會有落差。

有幫助嗎？

範例

計算方式

公式

P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}

C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

P(X≤k)=∑i=0kC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(X≥k)=∑i=knC(n,i)pi(1−p)n−iP(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

P(a≤X≤b)=∑i=abC(n,i)pi(1−p)n−iP(a \le X \le b) = \sum_{i=a}^{b} C(n,i)p^i(1-p)^{n-i}

μ=np,σ=np(1−p)\mu = np, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

變數

nn

總次數或樣本數

pp

成功機率

kk

目標成功次數

a,ba, b

a, b 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

XX

X 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

μ,σ\mu, \sigma

\mu, \sigma 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

這個計算機把 XX 視為二項隨機變數。恰好模式使用 P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−kP(X = k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}。至多、至少與區間模式，會把對應成功次數範圍內的精確機率加總。結果面板也會顯示 npnp 和 np(1−p)\sqrt{np(1-p)}，讓你把查詢的事件和分布的中心、分散程度一起對照。

  • 前提假設：每次試驗彼此獨立，而且成功機率固定不變。
  • 機率輸入：0.35、35 和 35% 都會正規化成相同的模型機率。
  • 數值穩定性：計算機會用對數 gamma 恆等式來計算二項各項，而不是直接展開階乘，因此可避免直接用 n! 運算時常見的溢位問題。

常見問題

01什麼情況適合用二項模型？
如果每次試驗只有成功或失敗兩種結果、各次試驗互不影響，而且成功機率每次都一樣，就很適合用二項模型。
02p 可以輸入成百分比或小數嗎？
可以。這個計算機接受 0.35、35 或 35% 這類輸入，並會在摘要列重新顯示正規化後的模型機率，讓你確認實際套用的是哪個值。
03恰好、至多、至少和介於兩者之間各代表什麼？
「恰好」是看單一成功次數 k；「至多」是把 0 到 k 的機率加總；「至少」是把 k 到 n 的機率加總；「介於兩者之間」則是把 k 到 k2（含兩端）的機率加總。
04這和統計或排列組合有什麼不同？
統計通常是在事後整理已觀察到的資料，排列組合則是在算有多少種安排方式。這個計算機關心的是在重複試驗開始前或進行中，某個成功次數出現的機率。

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