CalcLibrary

信賴區間計算機

依照你手上的樣本摘要資料，估計樣本平均數的雙尾 Student's t 信賴區間，或樣本比例的 Wilson score 區間。就算沒有原始資料，只要有樣本數、平均數、標準差或成功次數，也能很快做出合理的區間估計。

已根據目前輸入完成計算；請搭配公式和限制說明解讀。
x
n
範例

250 位受訪者中有 137 位支持這項提案。可用比例模式先估計支持度的合理範圍，再整理民調結果。

Confidence interval
[48.6%, 60.85%]
Lower bound
48.6%
Upper bound
60.85%
Margin of error
6.12%
Standard error
3.15%
Critical value (z*)
1.96
Sample proportion
54.8%

Wilson 區間在信賴水準提高或 n 降低時也會變寬。相同 n 下，比例接近 50% 時通常比接近 0% 或 100% 時更不精確。這裡在 95% 信賴水準下，250 次樣本中有 137 次成功，半寬為 6.123。

這是在所選模型下推估出的合理範圍，不是真值的精確答案，也不是保證。樣本品質、獨立性和你選的信賴水準，都會影響這個區間的說服力。

有幫助嗎？

範例

計算方式

公式

xˉ±t∗⋅sn,df=n−1\bar{x} \pm t^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

CIWilson=p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\mathrm{CI}_{\mathrm{Wilson}} = \frac{\hat{p} + \frac{z^{*2}}{2n} \pm z^*\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^{*2}}{4n^2}}}{1 + \frac{z^{*2}}{n}}

SExˉ=sn,SEp^=p^(1−p^)nSE_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

變數

xˉ\bar{x}

\bar{x} 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

ss

s 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

nn

總次數或樣本數

dfdf

df 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

t∗t^*

t^* 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

xx

目標值或自變數

p^\hat{p}

\hat{p} 表示這道數學題中的一個輸入值、中間量或結果量。

z∗z^*

標準化後的 z 值

先選平均數區間或比例區間，再輸入已知的樣本摘要，計算機就會回傳區間、誤差範圍、標準誤和臨界值。

平均數模式採用雙尾 Student's t 區間 xˉ±t∗⋅s/n\bar{x} \pm t^* \cdot s/\sqrt{n}，其中 df=n−1df = n - 1，所以樣本較小時，臨界值通常會比直接套正態近似來得寬。比例模式刻意使用 Wilson score 區間，而不是單純的 Wald 形式 p^±z∗⋅SE\hat{p} \pm z^* \cdot SE，因為在 nn 不大，或樣本比例靠近 0 或 1 時，Wilson 的表現通常更穩定。

常見問題

01這和統計計算機有什麼不同？
統計計算機偏向描述資料，會把你手上的樣本整理成平均數、中位數、標準差等指標。這個計算機則是把那些樣本摘要進一步轉成母體平均數或母體比例的信賴區間。
02這和常態分布或二項分布機率有什麼不同？
常態分布工具是在假設鐘形分布下回答機率問題，二項分布機率則是在重複的是/否試驗中估算事件次數的機率。這個計算機是根據樣本證據，推估未知平均數或比例的合理範圍。
03為什麼比例要用 Wilson？95% 信賴水準是不是表示這個固定區間有 95% 的機率包含真值？
當樣本不算大，或比例接近 0 或 1 時，Wilson 比單純的 Wald 區間更穩定。95% 信賴水準不是指這個已算出的固定區間有 95% 的機率包含真值，而是指在模型假設成立下，如果重複抽樣並每次都用同一方法建立區間，約有 95% 的區間會涵蓋真值。

所有計算器