常態分布計算機

這個計算機可在假設資料符合常態分布時，估算某個數值以下、以上、兩個數值之間的機率，或依指定百分位反推對應的臨界值。當你已知平均數與標準差時，它很適合用來快速查看鐘形曲線下各種事件的大致機率。

模式

模型問題預覽

平均值

標準差

目標值

範例

平均數為 100，標準差為 15，門檻成績為 130。

機率百分比

97.724994 %

機率小數

0.9772499371

百分位排名

97.724994 %

x 對應的標準分數

事件摘要

測量值小於或等於 130

僅供模型估算使用。只有在常態分布假設合理時才適合套用；它不能證明你的資料符合常態分布，也不是假設檢定。

有幫助嗎？

範例

公式

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

\Phi(z) = 0.5 \cdot (1 + \operatorname{erf}(z / \sqrt{2}))

P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)

P(X \ge x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)

P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)

x = \mu + z\sigma, \quad z = \Phi^{-1}(p)

變數

先選擇你想回答的問題類型，再輸入平均數與標準差，單位要和原始測量值一致。某值以下是左尾累積機率，某值以上是右尾機率，介於兩值之間是區間內的機率，而百分位求臨界值則是從累積百分位反推出相對應的原始數值。

先用 $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ 將原始數值標準化，讓問題可以放到標準常態曲線上解讀。
在某值以下、某值以上與介於兩值之間這幾種模式中，會用 $\Phi(z) = 0.5 \cdot (1 + \operatorname{erf}(z / \sqrt{2}))$ 來換算標準化後的數值或邊界。
若是百分位求臨界值，會先從累積百分位 $p$ 出發，以穩定的反常態近似求得 $z = \Phi^{-1}(p)$ ，再透過 $x = \mu + z\sigma$ 換回原始數值。
這個工具只是模型輔助，不用來檢驗資料是否符合常態分布，也不是假設檢定工具。

01什麼情況下適合用常態模型？

當你關心的測量值用鐘形曲線近似是合理的，就可以使用這個計算機。它不會檢驗真實資料是否符合常態分布，只會依照你設定的常態模型來計算結果。

02這裡的某值以下、某值以上、介於兩值之間和百分位各是什麼意思？

某值以下表示門檻左側的累積面積。某值以上表示超過門檻的右尾機率。介於兩值之間表示落在某個區間內的機率質量。百分位求臨界值則是先輸入累積百分位，再回傳對應的原始測量值。

03為什麼計算機會顯示標準分數？

標準分數可以看出某個原始數值距離平均數有幾個標準差。計算機會先把原始數值標準化，再利用標準常態曲線求出對應的機率或臨界值。

04它和統計、二項機率、科學計算有什麼不同？

統計是用來整理已觀測到的資料。二項機率用來描述重複試驗中的是非次數。科學計算適合一般用途的運算。這個工具的用途更聚焦，只用來在常態分布假設下對連續測量值建模。