三次方程式計算器

求解 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，查看三個根，並判斷三次方程式有三個實根、重根，還是一個實根和一對共軛複根。

計算方式

公式

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,\quad a \ne 0

x = t - \frac{b}{3a}

\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2

變數、符號與單位

計算方法說明

從標準形式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 開始，且 $a \ne 0$ 。求解器先除以 $a$ 進行歸一化，再平移變數以消去 $x^2$ 項。之後根據判別式選擇三實根、重根或一個實根加複根對的分支。

這是面向三次方程式的數值求解器，不是通用符號代數系統。若根無法清楚表示為簡單形式，計算機會用 $\approx$ 標記近似值，並透過代入檢查。

三次方程式的判別式說明什麼？

判別式用於分類根。正值表示三個不同實根，零表示至少有一個重實根，負值表示一個實根和一對共軛複根。

為什麼有些根顯示為近似值？

許多三次方程式的根不是簡單整數或分數。此時計算機顯示數值近似，並用代入檢查結果。

a = 0 會怎樣？

此時方程式不再是三次方程式。計算機會直接提示，而不會顯示舊的三次方程式結果。

重根怎樣處理？

當判別式接近零時，非常接近的根會合併，避免浮點誤差製造不存在的差異。