線性迴歸計算機

貼上成對資料後，這個工具會用最小平方法配適出一條直線。你可以直接查看方程式、r 和 R²。也能在不用自己寫公式的情況下，依指定的 x 估算 y。

範例

校園：讀書時間與分數

用讀書時數和小考分數配出直線，再估算讀 6 小時時的分數。

迴歸直線

y = 55.9 + 6.1x

斜率 b

6.1

截距 a

55.9

相關係數 r

0.999061

R²

0.998122

預測 y

92.5

校園：讀書時間與分數用讀書時數和小考分數配出直線，再估算讀 6 小時時的分數。y = 55.9 + 6.1xy = 55.9 + 6.1x

商務：廣告花費與潛在客戶數用每週花費和潛在客戶數的成對資料，估算下一個花費水準下可能的潛在客戶數。y = -0.4 + 2.2xy = -0.4 + 2.2x

科學：濃度與反應整理實驗型資料中的線性趨勢，並判斷配適是緊密還是偏弱。y = 0.5 + 1.28xy = 0.5 + 1.28x

公式

b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}

a = \bar{y} - b\bar{x}

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}

R^2 = r^2

變數

線性迴歸會從你輸入的成對資料中配適一條直線。斜率表示 x 每增加 1 時，y 通常會改變多少；截距則是 x = 0 時，這條直線的值。

當你手上已經有成對觀測值時，就適合用這個工具，例如讀書時間對小考成績，或濃度對反應值。輸入點的線性趨勢越集中，r 的絕對值通常越大；而 R² 代表這條直線解釋了 y 變異的多少。就算配適不強，這條線仍可能有參考性；但即使配適很好，也不能證明因果關係。

01這裡的斜率代表什麼？

斜率 **b** 表示 **x** 每增加 1 單位時，直線上的 **y** 會改變多少。斜率為正，表示配適出的直線往上；斜率為負，表示它往下。

02R² 代表什麼？

R² 是配適直線所能解釋的 **y** 變異比例。接近 1 代表直線和輸入點相當貼近；接近 0 則表示它解釋到的變化很少。

03相關性高就能證明因果嗎？

不能。迴歸只能描述你輸入資料中的關聯，無法判定一個變數是不是造成另一個變數變化的原因。

04如果預測值遠超出原始資料範圍，該相信嗎？

要小心。預測的 y 只是你輸入 x 之後，直線對應到的數值。當預測明顯超出已觀察到的 x 範圍時，結果通常更難站得住腳。