CalcLibrary

Калькулятор деления многочленов

Разделите один многочлен от одной переменной на другой: калькулятор выдаст точное частное, точный остаток и проверочное тождество.

Как распознано делимое
Как распознан делитель
Примеры

При делении x^3 - 1 на x - 1 получается частное x^2 + x + 1 и остаток 0.

Частное
x^{2} + x + 1
Остаток
0
Проверочное тождество
\left(x^{3} - 1\right) = \left(x - 1\right) \cdot \left(x^{2} + x + 1\right) + \left(0\right)
Ход деления
x^{3} \div x = x^{2}, x^{2} \cdot \left(x - 1\right) = x^{3} - x^{2}, \left(x^{3} - 1\right) - \left(x^{3} - x^{2}\right) = x^{2} - 1, x^{2} \div x = x, x \cdot \left(x - 1\right) = x^{2} - x, \left(x^{2} - 1\right) - \left(x^{2} - x\right) = x - 1, x \div x = 1, 1 \cdot \left(x - 1\right) = x - 1, \left(x - 1\right) - \left(x - 1\right) = 0, Q = x^{2} + x + 1,\; R = 0

Остаток равен нулю, поэтому x - 1 является множителем многочлена x^3 - 1.

Это было полезно?

Примеры

Как это работает

Формула

P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

deg⁡(R)<deg⁡(D)\deg(R) < \deg(D)

Переменные

P(x)P(x)

делимое

D(x)D(x)

делитель

Q(x)Q(x)

частное

R(x)R(x)

остаток

Калькулятор разбирает обе записи как точные многочлены от одной переменной, делит старшие члены, вычитает соответствующее частичное произведение и повторяет шаги, пока степень остатка не станет меньше степени делителя. Коэффициенты остаются символьными: например, результат вида 1/2x^2 - 1/2x + 1 остаётся точной дробной записью, а не превращается в десятичное приближение.

На каждом шаге старший член текущего остатка делят на старший член делителя. Полученный член частного умножают на весь делитель и вычитают это частичное произведение из текущего остатка. Алгоритм останавливается, когда степень оставшегося многочлена становится меньше степени делителя. Это ровно школьное деление многочленов столбиком, только с точными символьными коэффициентами.

Частые вопросы

01Что показывает этот калькулятор?
Он выводит точное частное, точный остаток и тождество делимое = делитель × частное + остаток.
02Как понять, что делитель является множителем?
Делитель является множителем только при остатке 0. В этом случае делимое делится на него без остаточного члена.
03Какую запись можно вводить?
Подходит обычная алгебраическая запись многочлена от одной переменной: x^4 - 3x + 2, x^2/2 - 1 или (x + 1)^2 - x. Пропущенные степени калькулятор приводит к нормальному виду автоматически.
04Какие выражения не подойдут?
Это не система компьютерной алгебры общего назначения. Калькулятор не принимает функции вроде sin(x), отрицательные степени и дроби с переменной в знаменателе, например 1/x.
05Зачем нужно тождество под ответом?
Это проверка результата. Если раскрыть скобки в выражении делитель × частное и прибавить остаток, должен получиться исходный многочлен.

Все калькуляторы